Mapa mental: Mapa Mental de Progresión Aritmética

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Mapa Mental de Progresión Aritmética

Contenido del mapa

Progresión aritmética — Fila de números que avanza sumando siempre el mismo paso.
- ¿Qué es? — Lista ordenada donde restar dos seguidos siempre da lo mismo.
  - Regla de oro — a_{n+1} - a_n = d. Al siguiente le quitas el anterior y sale d.
  - Analogía escalera — Como subir escalones de igual altura. Esa altura fija es d.
- Elementos clave — Las tres piezas para usar las fórmulas.
  - Primer término a1 — Es el punto de partida de la lista. Ejemplo: en 2,5,8,11, a1 = 2.
  - Término an — Es el número que está en la posición n.
  - Diferencia d — Es el paso fijo que sumas cada vez. Se halla con d = a_{n+1} - a_n.
- Tipos según d — El valor de d decide cómo se ve la fila.
  - Crece si d > 0 — Avanza hacia arriba. Ejemplo: 4, 9, 14, 19 con d = 5.
  - Decrece si d < 0 — Avanza hacia abajo. Ejemplo: 20, 15, 10, 5 con d = -5.
  - Constante si d = 0 — Se repite igual. Ejemplo: 7, 7, 7, 7 con d = 0.
- Término general — Atajo para ir a cualquier puesto sin listar todo.
  - Fórmula atajo — a_n = a1 + (n-1) * d. Empiezas en a1 y das n-1 pasos.
  - Por qué n-1 — Das un paso menos que el puesto. Para a2 das 1 paso, para a3 das 2 pasos.
  - Salto directo — Con 7,12,17,22... el término 20 es 102 sin escribir los 20.
- Suma S_n — Total al sumar a1 + a2 + ... + an.
  - Fórmula con an — S_n = n * (a1 + an) / 2. Promedias primero y último y multiplicas por n.
  - Fórmula con d — S_n = n * [2*a1 + (n-1)*d] / 2. Úsala cuando no conoces an.
  - Truco promedio — Es como si todos valieran el promedio entre inicio y final.

Una progresión aritmética es una lista ordenada de números donde siempre avanzas con el mismo paso. Cada número se obtiene sumando ese paso fijo al anterior, por eso avanza parejo sin saltos raros. La regla de oro es que a_{n+1} - a_n = d. Es como subir una escalera donde cada escalón tiene la misma altura.

Cada lista tiene tres elementos clave: el primer término a1 que es el punto de partida, el término general an que es el que está en la posición n, y la diferencia común d que es el paso fijo. Para hallar d restas dos términos seguidos con d = a_{n+1} - a_n. Por ejemplo en 2, 5, 8, 11, 14, a1 = 2 y d = 3.

El valor de d decide la forma de la progresión: si d > 0 crece como 4, 9, 14, 19; si d < 0 decrece como 20, 15, 10, 5; y si d = 0 es constante como 7, 7, 7, 7. Para ir directo a cualquier puesto sin escribir toda la lista se usa a_n = a1 + (n-1) * d. Se usa n-1 porque para llegar al puesto n das un paso menos que el número del puesto.

Para sumar los n primeros términos sin sumar uno por uno se usa S_n = n * (a1 + an) / 2, que es promediar el primero y el último y multiplicar por cuántos hay. Si no conoces an lo reemplazas y queda S_n = n * [2*a1 + (n-1)*d] / 2. Por ejemplo en 7, 12, 17, 22... con a1 = 7 y d = 5, el término 20 vale 102 y la suma de los 20 primeros vale 1090.