Los cocientes notables son divisiones especiales entre polinomios que siempre salen exactas, es decir, con resto 0. Son tu atajo para dividir muy rápido porque ya conoces el resultado de memoria y lo escribes directo, sin hacer la cuenta larga.

Solo trabajan con dos letras base, x y y, y un exponente n que es un número natural como 1, 2, 3 o 5. Hay tres casos útiles: (x^n - y^n)/(x - y) que es exacta siempre para todo n, (x^n - y^n)/(x + y) que es exacta solo si n es par, y (x^n + y^n)/(x + y) que es exacta solo si n es impar. La forma (x^n + y^n)/(x - y) nunca es exacta y no se considera cociente notable.

El resultado es como una escalera de bloques: empiezas todo rojo con x y terminas todo azul con y. En cada término la x baja y la y sube paso a paso. En el caso 1 todos los signos son +, y en los casos 2 y 3 los signos se alternan + y -, empezando con +. El desarrollo siempre tiene n términos y en cada término la suma de exponentes es n-1.

Por ejemplo, (x^5 + y^5)/(x + y) es del caso 3 con n = 5 impar, por eso es exacta. Tendrá 5 términos con signos alternados: x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4. No dividiste, solo aplicaste la regla de la escalera.