Mapa mental: Leyes de Exponentes

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Leyes de Exponentes

Contenido del mapa

Leyes de exponentes — Simplifica multiplicaciones repetidas moviendo solo los exponentes.
- Partes de la potencia — Base es lo que se repite y exponente cuenta repeticiones.
  - Base — Número que se multiplica. En 5^3 la base es 5.
  - Exponente — Dice cuántas veces se repite la base. En 5^3 es 3.
  - Potencia — Expresión completa y su resultado. 5^3 = 125.
- Misma base: sumar y restar — Si la base es igual, sumas al multiplicar y restas al dividir.
  - Producto misma base — a^m por a^n = a^{m+n}. Ejemplo: 2^2 por 2^3 = 2^5.
  - Cociente misma base — a^m entre a^n = a^{m-n} con a distinto de 0. Ejemplo: 5^4 entre 5^2 = 5^2.
- Elevar y repartir — Multiplica exponentes anidados y reparte el externo.
  - Potencia de potencia — (a^m)^n = a^{m por n}. Ejemplo: (3^2)^3 = 3^6.
  - Potencia de producto — (a por b)^n = a^n por b^n. Ejemplo: (2 por 3)^2 = 4 por 9.
  - Potencia de cociente — (a/b)^n = a^n/b^n con b distinto de 0.
- Exponentes especiales — Casos con 1, 0, negativo y fracción.
  - Exponente 1 y 0 — a^1 = a y a^0 = 1 con a distinto de 0. Ejemplo: 7^0 = 1.
  - Exponente negativo — a^{-n} = 1/a^n con a distinto de 0. Pasa al otro lado de la fracción.
  - Exponente fracción — a^{m/n} es raíz n de a^m con a mayor que 0. El denominador indica la raíz.
- Simplificación aplicada — Orden para simplificar: potencia, producto y cociente.
  - Paso 1 potencia — Resuelve (2^3)^2 = 2^6 porque se multiplican exponentes.
  - Paso 2 producto — Multiplica arriba 2^6 por 2^{-1} = 2^5 porque se suman exponentes.
  - Paso 3 cociente — Divide 2^5 entre 2^2 = 2^3 = 8 porque se restan exponentes.

Los exponentes permiten escribir de forma corta una multiplicación repetida del mismo número. La base es el número que se repite y el exponente indica cuántas veces aparece. Así, en lugar de escribir 2 por 2 por 2, escribimos 2^3.

Las leyes principales organizan estas repeticiones sin desarrollar todo el producto. Con la misma base, al multiplicar se suman los exponentes y al dividir se restan porque se cancelan copias. Cuando una potencia se eleva a otra potencia, los exponentes se multiplican. Si el exponente está fuera de un producto o un cociente, se reparte a cada factor de adentro.

Existen casos especiales que completan el sistema. Todo número distinto de cero elevado a 0 vale 1, y el exponente 1 deja el mismo número. El exponente negativo indica el inverso y pasa al otro lado de la fracción, mientras el exponente fracción combina potencia y raíz.

Para simplificar una expresión se aplica un orden claro: primero la potencia de potencia, luego el producto del numerador y al final el cociente. Este procedimiento convierte una expresión larga como (2^3)^2 por 2^{-1} entre 2^2 en 2^3 = 8.