Un sistema de ecuaciones lineales con dos variables es un conjunto de dos ecuaciones de primer grado con las mismas incógnitas x, y que deben cumplirse simultáneamente. Su forma general es a1x + b1y = c1 y a2x + b2y = c2, donde los coeficientes son números reales y cada ecuación es realmente lineal. Una solución es el par ordenado (x0, y0) que satisface ambas a la vez.

Geométricamente cada ecuación representa una recta en el plano y resolver el sistema es hallar su intersección. Según la posición relativa hay tres tipos: compatible determinado con una solución única por rectas secantes, compatible indeterminado con infinitas soluciones por rectas coincidentes, e incompatible sin solución por rectas paralelas no coincidentes. La comparación de proporciones entre coeficientes permite identificarlos rápidamente.

Para resolverlos se usan el método gráfico, los métodos algebraicos de sustitución, igualación y reducción, y la Regla de Cramer con determinantes. El método gráfico consiste en despejar y y trazar las rectas para visualizar el tipo de sistema, pero es poco preciso. Los métodos algebraicos despejan, igualan o eliminan variables para obtener valores exactos, mientras Cramer calcula D = a1b2 - a2b1 y Dx, Dy para hallar x = Dx/D, y = Dy/D.

En el examen la clave es identificar primero el tipo de sistema antes de calcular. Si D es distinto de cero hay solución única; si D es cero se analizan Dx y Dy y la proporcionalidad para decidir entre infinitas o ninguna solución. En sistemas con parámetros se impone D = 0 para hallar esos casos especiales y siempre se verifica el par final en ambas ecuaciones originales.