Mapa mental: Teorema de las Secantes

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Mapa mental: Teorema de las Secantes · Formatom

Teorema de las Secantes

Contenido del mapa

Teorema de las Secantes — Desde un punto exterior, el producto externo por completo es igual en ambas secantes.
- Punto exterior P — Origen común de las dos secantes, fuera del círculo.
  - Fuera del círculo — P no está dentro ni sobre el borde, está afuera.
  - Origen común — Ambas secantes deben salir del mismo punto P.
- Las dos secantes — Dos rectas que entran y salen del círculo.
  - Secante PAB — Corta primero en A y después en B.
  - Secante PCD — Corta primero en C y después en D.
  - Segmento externo — De P al primer corte: PA y PC.
  - Segmento completo — De P al segundo corte: PB y PD.
- Fórmula central — La igualdad que conecta ambas secantes.
  - Externo por completo — Siempre multiplica el externo por su propio completo.
  - Igualdad clave — PA · PB = PC · PD en ambas secantes.
  - En proporción — PA / PC = PD / PB por triángulos semejantes.
- Cómo aplicarlo — Pasos para hallar longitudes desconocidas.
  - Halla lo completo — Suma externo más interior: PB = PA + AB.
  - Plantea igualdad — Escribe PA · PB = PC · PD con tus datos.
  - Despeja y resta — Despeja lo desconocido; si piden interior, resta CD = PD - PC.
- Ejemplo y cuidados — Práctica y errores que debes evitar.
  - Ejemplo modelo — Con PA=4, AB=5 y PC=3, obtienes PB=9, PD=12 y CD=9.
  - No uses el interior — Nunca multipliques solo AB o CD, usa el tramo entero.
  - Verifica punto P — Ambas rectas deben salir del mismo punto exterior.

Imagina que estás fuera de un círculo y trazas dos líneas que lo atraviesan. Aunque una sea más inclinada que la otra, el producto de sus trozos siempre es el mismo. Es como dos senderos rectos que parten de tu casa P y cruzan un parque circular: caminas un tramo corto hasta entrar y luego sigues hasta salir, y la matemática de los dos caminos está conectada.

Para entenderlo debes dominar tres palabras. La secante es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos. El punto exterior P es el origen común fuera del círculo desde donde salen ambas secantes. El segmento externo es el pedacito desde P hasta el primer corte (PA y PC), mientras el segmento completo va desde P hasta el segundo corte más lejano (PB y PD).

El teorema afirma que externo por completo es igual a externo por completo: PA · PB = PC · PD. También puedes leerlo como proporción PA / PC = PD / PB. Esto ocurre porque los triángulos PAD y PCB son semejantes: comparten el ángulo en P y los ángulos que miran al mismo arco son iguales.

Para aplicarlo, primero obtén siempre el tramo entero sumando PB = PA + AB y PD = PC + CD, luego plantea la igualdad, despeja el valor desconocido y si te piden el pedazo interior réstalo. Por ejemplo, si PA = 4, AB = 5 y PC = 3, entonces PB = 9, 4·9 = 3·PD, PD = 12 y CD = 12 - 3 = 9. Nunca uses solo el interior y verifica que ambas rectas salgan del mismo punto exterior.