Mapa mental: Mapa Mental de Inecuaciones de Primer Grado

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Mapa Mental de Inecuaciones de Primer Grado

Contenido del mapa

Inecuaciones de primer grado — Comparación con incógnita x que busca todos los números que la hacen verdadera.
- ¿Qué es? — Desigualdad con incógnita x de exponente 1 que pregunta qué valores cumplen la comparación.
  - Desigualdad — Comparación que usa > < ≥ o ≤ en vez del signo =.
  - Primer grado — La x aparece sin exponente, con exponente 1, sin x² ni x³.
  - Ejemplo presupuesto — Con 50 soles y viajes de 5 soles, 5n ≤ 50 busca todos los n posibles, no uno exacto.
- Los 4 signos — Símbolos que indican qué tipo de comparación se pide.
  - Mayor que > — Pide números más grandes que el valor, sin incluirlo. Ejemplo: x > 2.
  - Menor que < — Pide números más pequeños que el valor, sin incluirlo. Ejemplo: x < 2.
  - Mayor o igual ≥ — Pide números desde el valor hacia arriba, incluyendo el valor. Ejemplo: x ≥ 2.
  - Menor o igual ≤ — Pide números desde el valor hacia abajo, incluyendo el valor. Ejemplo: x ≤ 2.
- Forma general — Modelo ax + b > 0 donde el signo puede ser > < ≥ o ≤.
  - Coeficientes a y b — Son números conocidos y a debe ser distinto de 0 para que exista x.
  - Se puede cambiar signo — El > se puede cambiar por < ≥ o ≤ sin perder la forma de primer grado.
- Cómo resolver — Deja sola a la x haciendo lo mismo a ambos lados para mantener la comparación.
  - Sumar o restar — Puedes sumar o restar el mismo número y el signo se mantiene.
  - Multiplicar o dividir positivo — Si operas con un número mayor que 0, el signo se mantiene.
  - Regla de oro: negativo — Si multiplicas o divides entre un negativo, debes invertir el signo.
    - Por qué se invierte — El orden se da vuelta: si 2 < 3, entonces -2 > -3 en la recta numérica.
- Solución e intervalo — Conjunto infinito de valores de x que hacen verdadera la desigualdad.
  - Escribir intervalo — Forma corta de la solución. Ejemplo: x < 4 se escribe (-∞, 4).
  - Dibujar en recta — Marca punto lleno si incluye el valor y sombrea hacia donde van las soluciones.
  - Comprobar — Reemplaza un valor de la solución en la inecuación original para verificar.

Una inecuación de primer grado es como una balanza desequilibrada: no busca un solo número como la ecuación, sino todos los números que hacen verdadera una comparación con la incógnita x. Su forma general es ax + b > 0, donde a y b son números conocidos, a es distinto de 0, y el signo > puede cambiarse por <, ≥ o ≤. Primer grado significa que x está sin exponente, o sea con exponente 1, sin aparecer x² ni x³.

Los cuatro signos definen qué se pide: mayor que > y menor que < no incluyen el valor, mientras que mayor o igual que ≥ y menor o igual que ≤ sí lo incluyen. La solución casi siempre son infinitos números y se escribe en forma corta como intervalo. Por ejemplo, x < 4 se escribe como (-∞, 4). Una analogía clara es el presupuesto semanal: si tienes 50 soles y cada viaje cuesta 5 soles, la condición 5n ≤ 50 no busca un n exacto, sino todos los n que la cumplen.

Resolver es dejar sola a la x haciendo lo mismo a ambos lados. Sumar o restar el mismo número mantiene el signo, y multiplicar o dividir entre un número positivo también lo mantiene. La única regla especial es la regla de oro: al multiplicar o dividir entre un número negativo el signo se invierte. Esto pasa porque el orden se da vuelta en la recta numérica, por ejemplo 2 < 3 es verdad, pero al multiplicar por -1 se obtiene -2 > -3.

Un ejemplo completo es 5 - 2x ≥ 11. Primero se resta 5 a ambos lados y queda -2x ≥ 6. Luego se divide entre -2 e invirtiendo el signo queda x ≤ -3. La solución son todos los números menores o iguales que -3, que en intervalo es (-∞, -3] con corchete de cierre porque -3 sí está incluido. En la recta se marca un punto lleno en -3 y se sombrea hacia la izquierda, y se puede comprobar con x = -4 porque 5 - 2(-4) = 13 y 13 ≥ 11 es verdad.