Mapa mental: Mapa Mental: Función Valor Absoluto

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Mapa Mental: Función Valor Absoluto

Contenido del mapa

Función valor absoluto — Mide la distancia de x al cero; siempre da cero o positivo y su gráfica es una V.
- Distancia al cero — Idea central: |x| indica qué tan lejos está x del cero, sin importar la dirección.
  - Ejemplo carretera — Ir 3 km a la derecha o a la izquierda da 3 km recorridos: |3| = 3 y |-3| = 3.
  - Notación |x| — Se escribe con dos barras y a cada entrada x le asigna una sola salida.
  - Nunca negativa — Como es una distancia, el resultado siempre es positivo o cero.
- Regla por partes — Define |x| en dos casos según el signo de x.
  - Si x ≥ 0 es x — Si el número ya es positivo o cero, se queda igual.
  - Si x < 0 es -x — Si x es negativo se usa -x para quitar el menos; ejemplo -(-4) = 4.
- Gráfica f(x)=|x| — La tabla de valores forma una V con pico abajo en el origen.
  - Forma en V — Al unir puntos como (-2,2), (0,0) y (2,2) se obtiene una V.
  - Vértice (0,0) — Es el punto donde la V cambia de dirección y alcanza su valor mínimo.
  - Dominio y rango — Dominio todos los reales; rango solo desde 0 hacia arriba.
  - Crecimiento y simetría — Decrece si x < 0 y crece si x > 0; la izquierda es espejo de la derecha.
- Forma general — Modelo g(x) = |x-h| + k que mueve la V sin deformarla.
  - Parámetro h — Mueve a la derecha si es positivo y a la izquierda si es negativo.
  - Parámetro k — Mueve hacia arriba si es positivo y hacia abajo si es negativo.
  - Vértice (h,k) — El nuevo punto mínimo es (h,k); ejemplo |x-2|+1 tiene vértice (2,1).
- Ejemplo |x+2|-3 — Caso modelo para graficar y analizar paso a paso.
  - Hallar vértice — Se escribe |x-(-2)|-3, así h = -2 y k = -3; vértice (-2,-3).
  - Tabla y gráfica — Con x alrededor de -2 se obtienen puntos en V que abre hacia arriba.
  - Dominio y rango — Dominio todos los reales; rango desde -3 hacia arriba porque es lo más bajo.

La función valor absoluto mide qué tan lejos está un número del cero. Por eso su resultado siempre es positivo o cero, nunca negativo. Si caminas 3 km a la derecha o 3 km a la izquierda del kilómetro 0, en ambos casos recorriste 3 km: |3| = 3 y |-3| = 3.

Su regla se define por partes: |x| = x si x es mayor o igual a 0, y |x| = -x si x es menor a 0. El caso -x es un truco para quitar el signo menos, porque si x es -4, entonces -(-4) = 4. La función básica es f(x) = |x|, donde a cada entrada x le corresponde una sola salida.

Su gráfica es una V con vértice en (0,0). Baja hasta el vértice y luego sube: es decreciente si x < 0 y creciente si x > 0, y es simétrica respecto al eje y. Su dominio es todos los números reales (-infinito, +infinito) y su rango es solo desde 0 hacia arriba [0, +infinito).

La forma general g(x) = |x - h| + k mueve la V sin deformarla. El valor h la desplaza a la derecha o izquierda y k hacia arriba o abajo, quedando el nuevo vértice en (h,k). Por ejemplo, en h(x) = |x + 2| - 3 el vértice es (-2,-3), con dominio (-infinito, +infinito) y rango [-3, +infinito).