Una superficie de revolución es la cáscara que deja una curva al dar una vuelta completa de 360° alrededor de una línea fija. No es un sólido macizo, es solo la piel exterior, como la huella que deja un alambre al girar alrededor de un palito. La mejor imagen es el torno de un alfarero: el barro gira y cada punto dibuja un círculo perfecto, y si en vez de un dedo usas un alambre curvo, al girar barre el espacio y deja una vasija, florero o plato.

Para describirla se usan cinco palabras clave. La generatriz es la curva que gira y sirve de molde. El eje de giro es la recta fija que no se mueve y cuya posición decide la forma final. El radio de giro r es la distancia más corta entre cada punto y el eje. Cada punto al girar dibuja un círculo llamado paralelo, que es su órbita. Si cortas la superficie con un plano que pasa por el eje, ves su perfil, llamado meridiano, como partir una naranja por la mitad.

La formación sigue siempre cuatro pasos. Primero eliges la generatriz, recta o curva. Segundo colocas el eje: si es paralela sale un tubo, si la cruza inclinada sale una punta. Tercero giras una vuelta completa y cada punto dibuja su paralelo. Cuarto juntas todos los paralelos y esa unión es la superficie final.

Hay cuatro superficies famosas con su área de cáscara sin tapas. El cilindro lateral sale de un segmento paralelo al eje y su área es A = 2 π r h. El cono lateral sale de un segmento inclinado que toca el eje y su área es A = π r g. La esfera sale de una semicircunferencia girada sobre su diámetro y su área es A = 4 π r². El tronco de cono sale de un segmento inclinado que no toca el eje y su área es A = π (R + r) g. Por ejemplo, un segmento de g = 5 cm con un extremo en el eje y otro a r = 3 cm forma un cono de A = π · 3 · 5 = 15π ≈ 47,1 cm².