Las variaciones son una parte del análisis combinatorio dentro de la aritmética y estudian una pregunta muy concreta: ¿de cuántas maneras distintas podemos elegir k elementos de un conjunto de n elementos y colocarlos en un orden determinado? Lo que define a una variación es que el orden SÍ importa: colocar las llaves roja-azul-verde es distinto de colocar verde-azul-roja, y por eso no basta con saber qué elementos se eligieron, sino también en qué posición quedó cada uno. Este matiz es el que diferencia a las variaciones de otros conteos en los que solo interesa el grupo elegido.

Para comprender el tema conviene partir de su vocabulario: un conjunto es el grupo de elementos disponibles, los elementos se suponen distintos entre sí, la selección consiste en escoger algunos de ellos y el orden indica la posición que ocupa cada uno (primero, segundo, tercero...). Una variación de n elementos tomados de k en k se denota V(n,k) y, cuando no se permite repetir elementos, debe cumplirse k ≤ n, pues no se pueden elegir más elementos de los que existen en el conjunto.

El fundamento de las variaciones es el principio multiplicativo: si una tarea se realiza en pasos sucesivos, el total de formas de realizarla es el producto de las opciones de cada paso. Al llenar k puestos con elementos distintos, el primero admite n opciones, el segundo n-1, el tercero n-2 y así hasta el k-ésimo puesto, que admite n-k+1 opciones. De ahí sale la fórmula sin repetición V(n,k) = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = n!/(n-k)!, donde la división por (n-k)! simplemente elimina los factores del factorial que no intervienen en la elección.

Existen también las variaciones con repetición, en las que cada elemento puede usarse tantas veces como se desee; en ese caso cada puesto mantiene n opciones disponibles y el conteo resulta V'(n,k) = n^k, como ocurre con un código de 4 dígitos formados con las cifras del 0 al 9, que tiene 10^4 = 10000 posibilidades. Un caso particular importante se da cuando se ordenan todos los elementos (k = n), pues V(n,n) = n!, lo que se conoce como permutación.

Para resolver ejemplos con seguridad conviene seguir una secuencia fija: primero preguntarse si el orden importa (si no importa, el conteo no corresponde a una variación), luego identificar n y k, después determinar si existe repetición, y finalmente aplicar la fórmula adecuada y comprobar el resultado con el principio multiplicativo. Los errores más comunes son confundir variaciones con combinaciones, usar n^k cuando en realidad no se admite repetición y olvidar la restricción k ≤ n en las variaciones sin repetición.