Punto, recta y plano
El punto, la recta y el plano son las tres figuras más simples de la geometría y constituyen la base sobre la que se construye todo lo demás. El punto marca una posición exacta en el espacio y no tiene largo, ancho ni alto: su única cualidad es dónde está. La recta reúne infinitos puntos que avanzan siempre en la misma dirección, sin curvarse y sin fin en los dos sentidos, y tampoco tiene grosor. El plano es una superficie plana e infinita que se extiende en todas sus direcciones y que puede contener puntos y rectas. Son figuras ideales: en la realidad solo existen representaciones de ellas, como un grano de arena por el punto, el canto de una mesa por la recta y la superficie de esa mesa por el plano.
Cada una tiene una dimensión propia: el punto tiene dimensión 0, la recta dimensión 1 y el plano dimensión 2, mientras que el espacio que las contiene tiene dimensión 3. Se nombran de forma convencional: los puntos con letras mayúsculas (A, B, P), las rectas con letras minúsculas (r, s) o con dos de sus puntos y una flecha doble, y los planos con letras griegas (α, β, γ) o con tres puntos no alineados. La notación de pertenencia (A ∈ r, A ∉ α) es el primer recurso para describir dónde está cada figura.
Dos postulados gobiernan estas figuras: por dos puntos distintos pasa una única recta, y tres puntos no alineados determinan un único plano. De ellos se deducen relaciones de posición que hay que dominar: un punto puede estar sobre o fuera de una recta; dos rectas del plano pueden ser secantes, paralelas o coincidentes, y en el espacio aparece un caso nuevo, las rectas alabeadas; una recta y un plano pueden estar contenidos, cortarse en un punto o ser paralelos; y dos planos o son paralelos o se cortan en una recta. El concepto de coplanariedad permite saber si varias figuras viven dentro de un mismo plano.
El dominio de estos elementos se demuestra resolviendo problemas de conteo y determinación: dada una colección de puntos, ¿cuántas rectas y cuántos planos distintos se pueden formar? Para ello basta aplicar los postulados, contar combinaciones de puntos y verificar que los puntos no queden alineados. Este tipo de razonamiento es la base de la geometría del plano y del espacio que se estudia después.