Mapa mental: Punto, recta y plano

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Mapa mental: Punto, recta y plano · Formatom

Punto, recta y plano

Contenido del mapa

Punto, recta y plano — Las tres figuras fundamentales de la geometría: sin tamaño, sin grosor y base de todo lo demás.
- El punto — Marca exacta de posición en el espacio.
  - Definición — Es una posición exacta sin largo, ancho ni alto. Su única cualidad es dónde está.
  - Nomenclatura — Se nombra con letra mayúscula: A, B, P. Nunca se dibuja tal cual, solo se representa con una pequeña mancha.
  - Pertenencia — A ∈ r significa «A pertenece a la recta r»; A ∉ α significa «A no pertenece al plano α». Un punto puede estar sobre una recta, sobre un plano o sobre ambos.
- La recta — Conjunto infinito de puntos que avanza siempre en la misma dirección.
  - Definición — No se curva, se extiende sin fin en los dos sentidos y no tiene grosor.
  - Nomenclatura — Con letra minúscula (r, s) o con dos de sus puntos y flecha doble: AB con doble flecha.
  - Postulado de unicidad — Por dos puntos distintos pasa una única recta. Es el postulado básico de la recta.
  - Segmento y semirrecta — El segmento es el trozo entre A y B, con extremos incluidos y medida igual a la distancia AB. La semirrecta arranca en A y sigue sin fin hacia un solo lado.
- El plano — Superficie plana e infinita que puede contener puntos y rectas.
  - Definición — Se extiende sin fin en todas sus direcciones y no tiene grosor.
  - Nomenclatura — Con letra griega (α, β, γ) o con tres puntos no alineados: plano ABC.
  - Tres puntos no alineados — Tres puntos que no están sobre una misma recta determinan un único plano.
  - Recta contenida — Si dos puntos de una recta están en un plano, toda la recta está contenida en él: r ⊂ α.
- Dimensiones — Cada figura ocupa un tipo de espacio distinto, de la dimensión 0 a la 3.
  - Punto: dimensión 0 — No tiene ninguna dimensión. Ejemplo real: un grano de arena.
  - Recta: dimensión 1 — Solo tiene largo, sin grosor. Ejemplo real: el canto de una mesa.
  - Plano: dimensión 2 — Tiene largo y ancho, sin grosor. Ejemplo real: la superficie de una mesa.
  - Espacio: dimensión 3 — Contiene a las anteriores y sí tiene volumen. Ejemplo real: el aula entera.
- Posiciones relativas — Cómo se sitúan entre sí puntos, rectas y planos.
  - Punto y recta — El punto está sobre la recta (A ∈ r) o fuera de ella (A ∉ r). Por un punto exterior pasan infinitas rectas, pero solo una es paralela a la dada.
  - Dos rectas en el plano — Secantes: un punto común. Paralelas: ningún punto común, r ∥ s. Coincidentes: infinitos puntos comunes, son la misma recta.
  - Rectas alabeadas — Solo existen en el espacio: no se cortan, no son paralelas y no están en el mismo plano. Ejemplo: dos aristas opuestas de una caja.
  - Recta y plano — Contenida: r ⊂ α, infinitos puntos comunes. Cortan: un punto común. Paralela: ningún punto común, r ∥ α.
  - Dos planos — Paralelos: ningún punto común, α ∥ β. Secantes: se cortan en una recta, como dos paredes de un salón.
  - Coplanariedad — Varias figuras son coplanarias si existe un plano que las contiene a todas. Tres puntos no alineados siempre lo son; dos rectas alabeadas nunca.
- Resolución de problemas — Aplicación de los postulados para determinar y contar rectas y planos.
  - Postulados clave — Dos puntos distintos determinan una recta; tres puntos no alineados determinan un plano. Son las herramientas de todo el razonamiento.
  - Conteo de rectas — Cada par de puntos define una recta. Con 4 puntos hay combinaciones de 4 tomados de 2 en 2, es decir, 6 rectas: AB, AC, AD, BC, BD y CD.
  - Conteo de planos — Cada trío de puntos no alineados define un plano. Si D no pertenece al plano ABC, los tríos ABC, ABD, ACD y BCD dan 4 planos distintos.
  - Estrategia general — Identificar los datos de alineación o pertenencia, aplicar el postulado correspondiente y comprobar que las figuras resultantes sean distintas.

El punto, la recta y el plano son las tres figuras más simples de la geometría y constituyen la base sobre la que se construye todo lo demás. El punto marca una posición exacta en el espacio y no tiene largo, ancho ni alto: su única cualidad es dónde está. La recta reúne infinitos puntos que avanzan siempre en la misma dirección, sin curvarse y sin fin en los dos sentidos, y tampoco tiene grosor. El plano es una superficie plana e infinita que se extiende en todas sus direcciones y que puede contener puntos y rectas. Son figuras ideales: en la realidad solo existen representaciones de ellas, como un grano de arena por el punto, el canto de una mesa por la recta y la superficie de esa mesa por el plano.

Cada una tiene una dimensión propia: el punto tiene dimensión 0, la recta dimensión 1 y el plano dimensión 2, mientras que el espacio que las contiene tiene dimensión 3. Se nombran de forma convencional: los puntos con letras mayúsculas (A, B, P), las rectas con letras minúsculas (r, s) o con dos de sus puntos y una flecha doble, y los planos con letras griegas (α, β, γ) o con tres puntos no alineados. La notación de pertenencia (A ∈ r, A ∉ α) es el primer recurso para describir dónde está cada figura.

Dos postulados gobiernan estas figuras: por dos puntos distintos pasa una única recta, y tres puntos no alineados determinan un único plano. De ellos se deducen relaciones de posición que hay que dominar: un punto puede estar sobre o fuera de una recta; dos rectas del plano pueden ser secantes, paralelas o coincidentes, y en el espacio aparece un caso nuevo, las rectas alabeadas; una recta y un plano pueden estar contenidos, cortarse en un punto o ser paralelos; y dos planos o son paralelos o se cortan en una recta. El concepto de coplanariedad permite saber si varias figuras viven dentro de un mismo plano.

El dominio de estos elementos se demuestra resolviendo problemas de conteo y determinación: dada una colección de puntos, ¿cuántas rectas y cuántos planos distintos se pueden formar? Para ello basta aplicar los postulados, contar combinaciones de puntos y verificar que los puntos no queden alineados. Este tipo de razonamiento es la base de la geometría del plano y del espacio que se estudia después.