Las operaciones con números reales constituyen el núcleo del álgebra: consisten en combinar números mediante reglas fijas para obtener otro número. Los números reales (ℝ) son todos los que se ubican en la recta numérica e incluyen los enteros (−3, 0, 7), los racionales (escritas como fracción a/b con b ≠ 0, como 3/4 o 2,5) y los irracionales (cuyos decimales no terminan ni se repiten, como √2 o π). Sobre este conjunto actúan las cinco operaciones básicas: suma, resta, multiplicación, división y potencia.

Cada operación tiene un significado concreto. Sumar es juntar cantidades (5 + (−2) = 3), restar es quitar o sumar lo contrario (5 − 7 = −2), multiplicar equivale a una suma repetida o a un escalamiento (3 · 4 = 12), dividir es repartir o multiplicar por el recíproco (12 ÷ 4 = 3) y la potencia expresa una multiplicación repetida de un número por sí mismo (2³ = 8). Dos equivalencias facilitan enormemente el cálculo: restar es sumar el opuesto (a − b = a + (−b)) y dividir es multiplicar por el recíproco (a ÷ b = a · 1/b, con b ≠ 0). Una útil analogía es la cuenta bancaria: los ingresos son sumas positivas, los gastos son sumas negativas y el saldo puede quedar negativo sin que eso sea un error, porque sigue siendo un número real válido.

El manejo de los signos es esencial. En la suma, dos términos negativos dan negativo y, cuando los signos son distintos, el resultado toma el signo del número mayor en valor absoluto (−2 + 5 = 3). En productos y cocientes, signos iguales dan positivo y signos distintos dan negativo (−2 · (−3) = 6, pero 2 · (−3) = −6). El valor absoluto |a| es la distancia al cero y siempre es positivo (|−7| = 7), lo que permite decidir qué término domina en una suma.

Toda operación respeta propiedades que se cumplen siempre: la conmutativa (el orden de sumandos o factores no altera el resultado), la asociativa (la forma de agrupar no altera el resultado), la distributiva (a · (b + c) = a·b + a·c, que conecta multiplicación con suma), los elementos neutros (0 para la suma y 1 para la multiplicación) y los inversos (el opuesto −a da 0 al sumarse a a; el recíproco 1/a da 1 al multiplicarse por a, con a ≠ 0).

Por último, para que todos lleguen al mismo resultado existe una jerarquía obligatoria de cálculo: primero paréntesis y corchetes de dentro hacia fuera, después potencias y raíces, luego multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha y al final sumas y restas de izquierda a derecha. Así, 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 y no 20. Un ejemplo completo: 3 − 2 · (4 − 6)² ÷ (−2) + 1/2 se resuelve primero el paréntesis (−2), luego la potencia (4), después el producto (8) y el cociente (−4), se convierten las restas en sumas del opuesto y finalmente se suman fracciones, dando 15/2 = 7,5. Para no perder conviene reescribir cada resta como suma del opuesto, marcar el orden a seguir y comprobar el signo final: un resultado negativo, fraccionario o decimal sigue siendo un número real perfectamente válido.