Mapa mental: Mapa Mental de Identidades Pitagóricas

Explorar

Mapa mental: Mapa Mental de Identidades Pitagóricas · Formatom

Mapa Mental de Identidades Pitagóricas

Contenido del mapa

Identidades Pitagóricas — 3 igualdades que siempre se cumplen y nacen de Pitágoras en el círculo unitario.
- Origen en Pitágoras — Vienen del teorema de Pitágoras aplicado al círculo de radio 1.
  - Círculo unitario — Círculo con centro (0,0) y radio 1. Sus puntos cumplen x² + y² = 1.
  - Coseno y seno — Coseno es la base x y seno es la altura y del punto del ángulo θ.
  - Analogía escalera — Base y altura cambian, pero base² + altura² siempre vale 1.
- 1. Identidad fundamental — La identidad madre que relaciona seno y coseno.
  - Fórmula — sin²θ + cos²θ = 1. Vale para todo ángulo θ.
  - Significado de sin²θ — Significa (sin θ)². Es el seno al cuadrado, no el ángulo.
- 2. Tangente y secante — Versión con pendiente e inverso del coseno.
  - Fórmula y condición — 1 + tan²θ = sec²θ. Solo vale si cos θ ≠ 0.
  - Cómo se obtiene — Divide sin²θ + cos²θ = 1 entre cos²θ.
  - Definiciones — tan θ = sin θ / cos θ y sec θ = 1 / cos θ.
- 3. Cotangente y cosecante — Versión con inversos de tangente y seno.
  - Fórmula y condición — 1 + cot²θ = csc²θ. Solo vale si sin θ ≠ 0.
  - Cómo se obtiene — Divide sin²θ + cos²θ = 1 entre sin²θ.
  - Definiciones — cot θ = cos θ / sin θ y csc θ = 1 / sin θ.
- Cómo usarlas — Sirven para hallar una función si conoces otra.
  - Elige la identidad — Usa la que relacione directamente lo conocido con lo buscado.
  - Reemplaza y despeja — Sustituye el dato, opera fracciones y deja solo el cuadrado buscado.
  - Cuida el signo — Al sacar raíz hay + y -. Elige según el cuadrante del ángulo.

Las identidades pitagóricas son tres igualdades trigonométricas que se cumplen siempre para cualquier ángulo permitido. Nacen de aplicar el teorema de Pitágoras a un triángulo formado dentro del círculo unitario, que es un círculo con centro en (0,0) y radio 1.

La identidad fundamental es sin²θ + cos²θ = 1, donde el coseno representa la base horizontal y el seno la altura del punto del ángulo. Es como una escalera de 1 metro apoyada en la pared: la base y la altura cambian, pero la suma de sus cuadrados siempre vale 1.

Las otras dos identidades se obtienen dividiendo la fundamental. Al dividir entre cos²θ se obtiene 1 + tan²θ = sec²θ, y al dividir entre sin²θ se obtiene 1 + cot²θ = csc²θ. Por eso no es necesario memorizarlas a ciegas, basta entender cómo se derivan.

Su uso principal es encontrar el valor de una función cuando se conoce otra, y simplificar expresiones trigonométricas. Al despejar siempre hay que sacar raíz cuadrada y elegir el signo positivo o negativo según el cuadrante donde está el ángulo.